Permutationen mit Zurücklegen

Herauszufinden, wie viele geordnete Folgen Sie genau erstellen können, wenn sich Elemente wiederholen, ist ganz einfach. Ein Rechner für Permutationen mit Zurücklegen ermittelt sofort die Gesamtzahl der Möglichkeiten für Ihren Datensatz ohne manuelle Multiplikation.

Was ist eine Permutation mit Zurücklegen?

Wenn Menschen online nach der Berechnung von Permutationen mit Zurücklegen suchen, suchen sie nach einer Möglichkeit, die Gesamtzahl der Folgemöglichkeiten zu ermitteln. Bei dieser spezifischen Berechnung wählen Sie eine Stichprobe aus einer größeren Gruppe verschiedener Objekte aus, bei der die genaue Reihenfolge Ihrer Elemente eine Rolle spielt und Wiederholungen (Zurücklegen) vollständig erlaubt sind. Da Sie denselben Gegenstand mehrfach auswählen können, kann ein einzelnes Objekt in jedem Feld Ihrer endgültigen Folge erscheinen.

Grundlegende mathematische Begriffe für Permutationen

Vor der Berechnung dieser Gleichungen ist es hilfreich, den mathematischen Grundwortschatz zu verstehen, der zur Beschreibung Ihrer Daten verwendet wird.

• Permutation: Die Anzahl der Möglichkeiten, eine Stichprobe von „r“ Elementen aus einer Menge von „n“ verschiedenen Objekten auszuwählen, wobei die Reihenfolge eine Rolle spielt und Wiederholungen nicht erlaubt sind. (Wenn n = r, vereinfacht sich dies zu einer einfachen Fakultät von n).
• Permutation mit Zurücklegen: Die Anzahl der Möglichkeiten, eine Stichprobe von „r“ Elementen aus einer Menge von „n“ verschiedenen Objekten auszuwählen, wobei die genaue Reihenfolge eine Rolle spielt und Wiederholungen erlaubt sind.
• n: Dies steht für Ihre Gesamtmenge oder Grundgesamtheit.
• r: Dies steht für Ihre spezifische Teilmenge von n oder Ihre Stichprobe.

Die Formel für Permutationen mit Zurücklegen erklärt

Um die Anzahl der Möglichkeiten zu ermitteln, eine geordnete Teilmenge zu erhalten, bei der sich Elemente wiederholen können, lautet die Standardformel für Permutationen mit Zurücklegen schlicht:

Diese mathematische Regel gilt, solange n ≥ 0 und r ≥ 0 ist. Da Sie „r“ Elemente aus einer Menge der Größe „n“ auswählen, kann jedes Element auf „n“ verschiedene Arten ausgewählt werden. Daher wird die gesamte Folge (oft auch als String bezeichnet) berechnet, indem n für jede einzelne Stelle in der Folge mit sich selbst multipliziert wird (n x n x n ... = n^r).

Problem 1 bei Permutationen mit Zurücklegen: Buchstaben aus einem Alphabet auswählen

Sehen wir uns ein praktisches Beispiel für die Auswahl von Buchstaben zur Bildung einer Folge an.

Wenn wir einen 2-stelligen Code aus einem sehr kleinen Alphabet von nur 3 Buchstaben {A, B, C} erstellen möchten, wird die Anzahl der Permutationen (bei denen die Reihenfolge eine Rolle spielt und Zurücklegen erlaubt ist) mithilfe unserer Formel berechnet:

Diese 9 spezifischen Kombinationen lauten: {A,A}, {A,B}, {A,C}, {B,A}, {B,B}, {B,C}, {C,A}, {C,B} und {C,C}.

Wenn wir dieses Problem erweitern und eine Folge von 10 Buchstaben aus demselben Alphabet mit 3 Buchstaben {A, B, C} auswählen möchten, bleibt die Rechnung dieselbe:

Problem 2 bei Permutationen mit Zurücklegen: Würfelfolge

Nehmen wir an, Sie möchten einen 8-seitigen Würfel genau 10 Mal werfen und Ihre Folge von 10 Ergebnissen in der genauen Reihenfolge aufzeichnen. Für dieses Problem wählen Sie eine Folge von 10 Würfen aus einer Gesamtmenge von 8 möglichen Augenzahlen {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Wenn Sie Ihre Folge von Elementen erstellen, hat jeder einzelne Wurf genau 8 Möglichkeiten. Die Gesamtzahl der Möglichkeiten beträgt 8 für den 1. Wurf, mal 8 für den 2. Wurf, mal 8 für den 3. Wurf... bis hin zum 10. Wurf.

Zuletzt aktualisiert: 12. April 2026