Quadratische Ergänzung Rechner

Brauchen Sie einen schnellen und einfachen Weg, um komplexe Polynomprobleme zu lösen? Verwenden Sie diesen Rechner, um die genauen Lösungen für Polynomgleichungen zweiten Grades zu finden.

Dieses Tool hilft Ihnen zu lernen, wie man eine quadratische Gleichung mit der Methode der quadratischen Ergänzung löst. Es funktioniert für Standardgleichungen in der Form:

ax² + bx + c = 0 (solange a ≠ 0 ist)

Der Rechner zeigt Ihnen alle erforderlichen Schritte, um sowohl reelle als auch komplexe Wurzeln zu finden, sodass leicht verständlich wird, was die quadratische Ergänzung in der Algebra bedeutet.

Was ist die Methode der quadratischen Ergänzung in der Algebra?

Die quadratische Ergänzung ist eine bewährte algebraische Technik zur Lösung quadratischer Gleichungen. Dies geschieht, indem Sie die linke Seite Ihrer Gleichung so anpassen, dass sie zu einem perfekten quadratischen Binom wird.

Schüler suchen oft danach, wie die quadratische Ergänzung angewendet wird, wenn eine Gleichung nicht durch einfaches Ausklammern gelöst werden kann. Um zu beginnen, müssen Sie sicherstellen, dass Ihr erster Term (der a-Term) genau 1 ist. Wenn Ihr a-Wert nicht 1 ist, teilen Sie zunächst die gesamte Gleichung durch diese Zahl, bevor Sie mit den untenstehenden Schritten der quadratischen Ergänzung fortfahren.

Schritt-für-Schritt-Anleitung zur quadratischen Ergänzung

Wenn Sie sich fragen, wie man die quadratische Ergänzung Schritt für Schritt durchführt, folgen Sie einfach diesem logischen Prozess, um Ihre Antwort zu finden.

1. Bringen Sie Ihr mathematisches Problem zuerst in die Standardform:
   ax² + bx + c = 0
2. Wenn Ihr a-Term nicht 1 ist, teilen Sie jeden Teil der Gleichung durch a.
   (Ihre b- und c-Terme könnten zu Brüchen werden, was völlig normal ist.)
3. Verschieben Sie Ihre konstante Zahl (den c-Term) auf die rechte Seite des Gleichheitszeichens.
4. Nehmen Sie Ihre mittlere Zahl (den b-Term), teilen Sie sie durch 2 und quadrieren Sie das Ergebnis.
5. Addieren Sie diese neue quadrierte Zahl sowohl zur linken als auch zur rechten Seite Ihrer Gleichung.
6. Schreiben Sie die linke Seite so um, dass sie wie ein perfektes Quadrat aussieht:
   (x + y)²
7. Ziehen Sie die Quadratwurzel auf beiden Seiten.
8. Isolieren Sie x, indem Sie die verbleibende Zahl nach rechts verschieben.
9. Lösen Sie nach x auf. Denken Sie daran: Sie erhalten ZWEI Antworten (eine positive und eine negative).

Wie man die quadratische Ergänzung anwendet, wenn a größer als 1 ist

Beispielgleichung:
3x² − 18x + 5 = 0

Da a = 3 ist, teilen Sie jeden Term durch 3:
3x²/3 − 18x/3 + 5/3 = 0/3

Nach dem Teilen:
x² − 6x + 5/3 = 0
Fahren Sie nun mit den normalen Schritten der quadratischen Ergänzung fort.

Lösung, wenn b = 0 ist

Beispielgleichung:
x² + 0x − 9 = 0

Entfernen Sie den Null-Term:
x² − 9 = 0

Verschieben Sie die Konstante:
x² = 9

Ziehen Sie auf beiden Seiten die Quadratwurzel:
x = ±√9

Endergebnisse:
x = 3
x = −3

Quadratische Ergänzung (Zusätzliche Beispiele)

Standardform:
ax² + bx + c = 0, wobei a ≠ 0
Diese Methode wandelt die linke Seite in das Quadrat eines Binoms um.

Zusammenfassung der Schritte

• Bringen Sie die Gleichung in die Form ax² + bx + c = 0
• Wenn a ≠ 1 ist, teilen Sie die gesamte Gleichung durch a
• Verschieben Sie c auf die rechte Seite
• Nehmen Sie b/2 und quadrieren Sie es
• Addieren Sie das Ergebnis auf beiden Seiten
• Schreiben Sie sie um als (x + y)²
• Ziehen Sie die Quadratwurzel
• Lösen Sie nach x auf (zwei Antworten)