Greatest Common Divisor (GCD)
Möchten Sie Brüche kürzen? Erfahren Sie, wie Sie Brüche ganz einfach vereinfachen können. Einen Bruch zu kürzen bedeutet, ihn auf seine kleinste Form zu vereinfachen, ohne seinen Wert zu ändern. Anstatt sich mit komplizierten Brüchen abzumühen, können Sie das ggT-Tool verwenden, um den größten gemeinsamen Teiler zu finden und jeden Bruch in Sekundenschnelle zu kürzen.
Der größte gemeinsame Teiler (GCD) – im Englischen auch als Greatest Common Divisor (GCD), Greatest Common Denominator (GCD) oder Highest Common Factor (HCF) bezeichnet – ist schlichtweg die größte ganze Zahl, die eine Gruppe von Zahlen perfekt und ohne Rest teilt. Sie können den GCD (GCD, GCD oder HCF) für zwei oder mehr Zahlen ganz einfach durch grundlegende Faktorisierung berechnen. Geben Sie einfach Ihre ganzen Zahlen, getrennt durch Leerzeichen oder Kommas, in einen Rechner ein, und das Tool wird die Aufgabe für Sie lösen!
Den größten gemeinsamen Teiler verstehen
Einfach ausgedrückt ist der größte gemeinsame Teiler einer Gruppe von ganzen Zahlen die größte positive Zahl, die all diese Zahlen ohne Rest gleichmäßig teilen kann. Wenn Sie beispielsweise die Zahlen 24, 36 und 60 haben, ist die größte Zahl, die alle drei perfekt teilt, die 12. Somit ist der GCD (GCD) gleich 12.
Wussten Sie, dass jede ganze Zahl (außer Null) multipliziert mit 0 immer 0 ergibt? Aus diesem Grund wird jede ganze Zahl als Faktor von 0 angesehen.
Stellen Sie sich das so vor: Jede Zahl „k“ mal 0 ergibt 0. Also ist 0 geteilt durch „k“ gleich 0.
Beispielsweise ist 7 mal 0 gleich 0, was bedeutet, dass 0 geteilt durch 7 gleich 0 ist. In diesem Fall sind sowohl 7 als auch 0 Faktoren von 0.
Wenn Sie den GCD von 7 und 0 ermitteln möchten, lautet die Antwort 7. Allgemein ausgedrückt ist der GCD einer beliebigen ganzen Zahl und 0 einfach diese ganze Zahl. Beachten Sie jedoch, dass das Bestimmen des GCD von (0, 0) undefiniert und nicht möglich ist.
Einfache Wege, um den GCD zu finden
Es gibt verschiedene Methoden, mit denen Sie den größten gemeinsamen Teiler Ihrer Zahlen ermitteln können. Welche Methode am besten geeignet ist, hängt davon ab, wie groß Ihre Zahlen sind, mit wie vielen Zahlen Sie arbeiten und wofür Sie das Endergebnis benötigen.
Die grundlegende Faktorisierungsmethode
Um den GCD (GCD) mit dieser einfachen Methode zu finden, schreiben Sie einfach alle möglichen Faktoren für jede Zahl auf. Sie können dies von Hand tun oder den Factors Calculator verwenden, um die Dinge zu beschleunigen. Faktoren sind einfach die ganzen Zahlen, die sich perfekt und ohne Rest in Ihre Hauptzahl teilen lassen. Sobald Sie eine Liste der Faktoren für jede Zahl haben, suchen Sie einfach nach der größten Zahl, die auf jeder einzelnen Liste erscheint. Das ist Ihr GCD (GCD)!
- Die Faktoren von 20 sind: 1, 2, 4, 5, 10 und 20.
- Die Faktoren von 30 sind: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 und 30.
- Die Zahlen, die sie gemeinsam haben (gemeinsame Faktoren), sind: 1, 2, 5 und 10.
- Die größte gemeinsame Zahl ist 10. Der größte gemeinsame Faktor von 20 und 30 ist also 10.
- Die Faktoren von 24 sind: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und 24.
- Die Faktoren von 36 sind: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 und 36.
- Die Faktoren von 90 sind: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 und 90.
- Die gemeinsamen Faktoren für alle drei Zahlen sind 1, 2, 3 und 6. (Denken Sie daran, nur Zahlen einzubeziehen, die in allen drei Listen vorkommen!)
- Die größte gemeinsame Zahl ist 6. Der größte gemeinsame Faktor von 24, 36 und 90 ist also 6.
Primfaktorzerlegung verwenden
Ein weiterer hervorragender Weg, den GCD zu ermitteln, ist die Primfaktorzerlegung. Hierbei zerlegen Sie jede Zahl in ihre Primfaktoren. Sie können dies selbst berechnen oder einen Primfaktor-Rechner verwenden, um es zu beschleunigen.
Schreiben Sie die Primfaktoren auf, die alle Ihre ursprünglichen Zahlen teilen. Wenn ein Primfaktor in allen Zahlen mehrfach vorkommt, zählen Sie ihn auch entsprechend oft. Multiplizieren Sie schließlich diese gemeinsamen Primzahlen miteinander, um Ihren GCD zu erhalten. Sie werden feststellen, dass dieser Primzahl-Trick bei sehr großen Zahlen meist viel einfacher ist als das Erstellen riesiger Listen regulärer Faktoren.
- Die Primfaktoren von 20 sind: 2 × 2 × 5 = 20.
- Die Primfaktoren von 30 sind: 2 × 3 × 5 = 30.
- Die Primfaktoren, die beide gemeinsam haben, sind 2 und 5.
- Multiplizieren Sie diese also miteinander: 2 × 5 = 10. Der GCD ist 10.
- Die Primfaktoren von 24 sind: 2 × 2 × 2 × 3 = 24.
- Die Primfaktoren von 36 sind: 2 × 2 × 3 × 3 = 36.
- Die Primfaktoren von 90 sind: 2 × 3 × 3 × 5 = 90.
- Die Primfaktoren, die alle drei Zahlen gemeinsam haben, sind eine 2 und eine 3.
- Multiplizieren Sie diese miteinander: 2 × 3 = 6. Der GCD ist 6.
Mit dem euklidischen Algorithmus arbeiten
Was passiert, wenn Sie den GCD von riesigen Zahlen wie 182664, 154875 und 137688 finden müssen? Mit einem Factors Calculator, einem Primfaktor-Rechner oder einem Standard-GCD-Tool ist das super einfach. Aber wenn Sie die Berechnung von Hand durchführen müssen, erfordert das viel Zeit und Mühe. Genau hier rettet der euklidische Algorithmus den Tag.
- Nehmen Sie zwei ganze Zahlen. Subtrahieren Sie die kleinere Zahl von der größeren Zahl und schreiben Sie das Ergebnis auf.
- Subtrahieren Sie die kleinere Zahl so lange von Ihrem neuen Ergebnis, bis Ihr Ergebnis schließlich kleiner als die ursprüngliche kleinere Zahl ist.
- Nehmen Sie nun diese ursprüngliche kleinere Zahl und behandeln Sie sie als Ihre neue „größere“ Zahl. Subtrahieren Sie Ihr Endergebnis aus Schritt 2 von dieser neuen größeren Zahl.
- Wiederholen Sie genau dieses Muster mit jeder neuen größeren und kleineren Zahl, bis Ihr Ergebnis genau Null erreicht.
- Wenn Sie schließlich Null erreichen, blicken Sie auf die Berechnung zurück, die Sie direkt davor durchgeführt haben. Die Zahl, die Sie direkt vor dem Erreichen der Null erhalten haben, ist Ihr GCD!
Für weitere Hilfe zu dieser speziellen Methode können Sie unseren Euklidischen Algorithmus-Rechner besuchen.
20 − 10 − 10 = 0
Da 10 unsere letzte Antwort vor dem Erreichen von 0 war, ist der größte gemeinsame Teiler von 20 und 30 gleich 10.
Hinweis: Um den GCD von drei oder mehr Zahlen zu finden, ermitteln Sie zuerst den GCD von zwei von ihnen. Verwenden Sie dann diese Antwort zusammen mit der nächsten Zahl, um den endgültigen GCD zu berechnen.
Zuerst bestimmen wir den GCD von 90 und 36:
36 − 18 − 18 = 36 − (18 × 2) = 0
Die letzte Zahl vor der Null war 18. Der größte gemeinsame Teiler von 90 und 36 ist also 18.
Als nächstes ermitteln wir den GCD unserer dritten Zahl (24) und unserer neuen Antwort (18):
18 − 6 − 6 − 6 = 18 − (6 × 3) = 0
Die letzte Zahl vor der Null ist 6. Daher ist der endgültige größte gemeinsame Teiler für alle drei Zahlen (24, 36 und 90) gleich 6.
Zuerst finden wir den GCD für die ersten beiden großen Zahlen (144720 und 168300):
144720 − (23580 × 6) = 3240
23580 − (3240 × 7) = 900
3240 − (900 × 3) = 540
900 − (540 × 1) = 360
540 − (360 × 1) = 180
360 − (180 × 2) = 0
Die Zahl, die wir direkt vor der Null erhalten haben, ist 180. Der größte gemeinsame Teiler von 144720 und 168300 ist also 180.
Jetzt nehmen dieses Ergebnis (180) und verwenden es mit unserer dritten Zahl (126540):
Da 180 die Zahl 126540 vollständig teilt, führt der letzte Schritt sofort zu Null. Daher ist der gesamte größte gemeinsame Teiler für 144720, 168300 und 126540 gleich 180.
Letzte Aktualisierung: 12. April 2026